Eşlik ve Benzerlik Çözümlü Sorular                                                                                              --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------AÇI NEDİr? Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimine açı denir. İki ışının ortak olan başlangıç noktasına açının köşesi denir. Işınlara ise aççının kenarı veya açının kolu denir. Yukarıdaki açı AOB açısı, BOA açısı veya O açısı olarak isimlendirilir. Sembolle AÔB, BÔA veya Ô şeklinde gösterilir. AÇININ DÜZLEMDE AYIRDIĞI BÖLGELER Açı bulunduğu düzlemi iç ve dış bölge olmak üzere iki bölgeye ayırır. Açının kolları sonsuza uzadığı için kolları kısa veya uzun çizmemiz iç bölgeyi veya dış bölgeyi değiştirmez. Yukarıdaki örnekte D, E ve F noktaları açının iç bölgesinde, H ve G noktaları açının dış bölgesindedir. A, B ve C noktaları ise açının ne iç bölgesinde ne de dış bölgesindedir. Bu noktalar açının üzerindedir. AÇI ÇEŞİTLERİ Açıyı oluşturan iki ışın arasındaki açıklığa açının ölçüsü denir. Açı ölçü birimlerinden birisi derecedir. Örneğin 30 derecelik bir açı 30° şeklinde gösterilir. Bir AOB açısının ölçüsü sembolle s(AÔB) veya m(AÔB) şeklinde gösterilir. 1) DAR AÇI Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açıya dar açı denir. 2) DİK AÇI Ölçüsü 90° olan açıya dik açı denir. 3) GENİŞ AÇI Ölçüsü 90° ile 180° arasında olan açıya geniş açı denir. 4) DOĞRU AÇI Ölçüsü 180° olan açıya doğru açı denir. 5) TAM AÇI Ölçüsü 360° olan açıya tam açı denir. EŞ AÇI Ölçüleri birbirine eşit olan açılara eş açılar denir.   Örneğin s(AÔB)=40° ve s(AÔC)=40° olsun. Bu iki açı birbirine eştir. Bu durum sembolle AÔB @ AÔC şeklinde gösterilir.   AÇIORTAY Bir açıyı iki eş açıya bölen ışına açı ortay denir. Yandaki örnekte DT ışını LDE açısının açıortayıdır.   KOMŞU AÇILAR Köşesi ve birer kenarı ortak olan açılar komşu açılar denir. Aşağıdaki örnekte ABC açısı ile CBD açısının BC kenarı ortak olduğu için bu iki açı komşudur.------------------------------------------------------------------------------------------------KOMŞU AÇI Birer kenarı ortak olan açılar komşu açılar denir. Aşağıdaki örnekte ABC açısı ile CBD açısının BC kenarı ortak olduğu için bu iki açı komşudur. TÜMLER AÇI Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya tümler açı denir. s(AÔB)=40° ve s(DÊC)=50°'dir. s(AÔB) + s(DÊC) = 40° + 50° = 90° olduğu için AÔB ile DÊC tümlerdir. ÖRNEK: 70° ile 20°, 89° ile 1°, 75° ile 15° tümler açılardır. KOMŞU TÜMLER AÇI Ölçüleri toplamı 90° olan ve komşu olan iki açıya komşu tümler açı denir. s(MÔP)=70° ve s(PÔN)=20°'dir. s(MÔP) + s(PÔN) = 70° + 20° = 90° olduğu için ve bu açılar komşu olduğu için MÔP ile PÔN komşu tümlerdir.  BÜTÜNLER AÇI Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açı denir. s(AÔB)=30° ve s(DÊC)=150°'dir. s(AÔB) + s(DÊC) = 30° + 150° = 180° olduğu için AÔB ile DÊC bütünlerdir. ÖRNEK: 170° ile 10°, 99° ile 81°, 45° ile 135° bütünler açılardır.  KOMŞU BÜTÜNLER AÇI Ölçüleri toplamı 180° olan ve komşu olan iki açıya komşu bütünler açı denir. s(AÔC)=132° ve s(CÔB)=48°'dir. s(AÔC) + s(CÔB) = 132° + 48° = 180° olduğu için ve bu açılar komşu olduğu için AÔC ile CÔB komşu bütünlerdir. TERS AÇILAR Kesişen iki doğruda oluşan açılarda komşu olmayan açılara ters açılar denir. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. Yandaki şekilde BÔC ile AÔD ters açıdır ve AÔB ile DÔC ters açıdır. Tümler Açı, Bütünler Açı, Ters Açı Soruları 1) Tümleri kendisinin 2 katı olan açıyı bulalım. Açımız X derece olsun. Tümleri de açımızın 2 katı olduğu için 2X olacaktır. Açımız ve tümlerinin toplamı 90° olacaktır. Yani X + 2X = 90° 3X = 90° bulunur. Bize açımızı yani X'i sorduğu için 90'ı 3'e böleriz ve X=30° bulunur. 2) Bütünleri kendisinin 8 katı olan açıyı bulalım. Açımız X derece olsun. Bütünleri de açımızın 8 katı olduğu için 8X olacaktır. Açımız ve tümlerinin toplamı 180° olacaktır. Yani X + 8X = 180° 9X = 180° bulunur. Bize açımızı yani X'i sorduğu için 180'ı 9'a böleriz ve X=20° bulunur.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------KESİRLERDE KARŞILAŞTIRMA VE KESİRLERİN SIRALANMASI Kesirlerde sıralama işlemi yaparken kesirleri birbirleri ile karşılaştırırız. Karşılaştırma ve sıralama işlemini küçüktür ( < ), büyüktür ( > ) ve eşittir ( = ) sembolleriyle yaparız. Payları eşit olan kesirlerde sıralama, paydaları eşit olan kesirleri sıralama, tam sayılı kesirlerde sıralama, bir doğal sayı ile kesrin karşılaştırılması, yarıma yakınlığa bakarak karşılaştırma ve bütüne yakınlığa bakarak karşılaştırmayı görelim. 1) PAYLARI EŞİT OLAN KESİRLERİ SIRALAMA Payları eşit olan kesirleri sıralamak için kesirlerin paydalarına bakarız. Paydası küçük olan kesir daha büyüktür. Örneği inceleyelim:  2) PAYDALARI EŞİT OLAN KESİRLERİ SIRALAMA  Paydaları eşit olan kesirleri karşılaştırmak için paylarına bakarız. Payı büyük olan kesir daha büyüktür.  Örnek:  3) PAYLARI VE PAYDALARI EŞİT OLMAYAN KESİRLERİ SIRALAMA  Pay ve paydaları eşit olmayan kesirleri karşılaştırabilmek için öncelikle kesirlerin paylarını veya paydalarını eşitleriz. Paylarını veya paydalarını eşitlemekten hangisi kolay oluyorsa onu yapabiliriz. Eşitledikten sonra yukarıda gördüğümüz şekilde karşılaştırır ve sıralarız. 4) TAM SAYILI KESİRLERİ SIRALAMA Tam sayılı kesirleri karşılaştırırken iki yol izleyebiliriz. # Önce tam sayılı kesri bileşik kesre çevirme işlemi yaparız, daha sonra yukarıda öğrendiğimiz gibi paylarını veya paydalarını eşitleyerek karşılaştırırız.  # Tam sayılı kesirlerde tam kısmı büyük olan kesir daha büyüktür. Eğer tam kısımları eşitse kesir kısımlarını karşılaştırırız. Kesir kısımlarını karşılaştırmayı da yukarıda öğrenmiştik. 5) BÜTÜNE YAKINLIK Kesirlerin tam sayılara yakınlıklarına göre karşılaştırma yapabiliriz. ÖRNEK: 4/5 ve 7/8 kesirlerini karşılaştıralım. 4/5 birden küçüktür ve bütüne (1'e) olan uzaklığı 1/5'tir. 7/8 birden küçüktür ve bütüne (1'e) olan uzaklığı 1/8'dir.  1/8 kesri 1/5'ten daha küçük bir kesir olduğu için 7/8 kesrinin 1 tama olan mesafesi daha azdır. Yani daha yakındır. Buradan 7/8 > 4/5 sıralamasını yapabiliriz. ÖRNEK: 11/5 ve 17/8 kesirlerini karşılaştıralım. 11/5 kesri 2 tamdan büyüktür ve 2 tamı 1/5 geçmiştir. 17/8 kesri 2 tamdan büyüktür ve 2 tamı 1/8 geçmiştir. 1/8 kesri 1/5'ten daha küçük bir kesir olduğu için 17/8 kesri daha küçüktür. Çünkü iki kesir de 2 tamı geçmiştir. Ancak 17/8 kesri tamı 1/8 geçmiştir, diğeri 1/5 geçmiştir. 1/8 daha küçük olduğu için 17/8 daha az geçmiştir. Buradan 17/8 < 11/5 sıralamasını yapabiliriz. 6) YARIMA YAKINLIK Kesirlerin yarıma (1/2'ye) yakınlıklarına göre karşılaştırma yapabiliriz. ÖRNEK: 9/20 ve 11/24 kesirlerini karşılaştıralım. 9/20 kesri yarımdan (10/20) küçüktür ve yarıma olan uzak 1/20'dir. 11/24 kesri yarımdan (12/24) küçüktür ve yarıma olan uzak 1/24'tür.  1/24 kesri 1/20'den daha küçük bir kesir olduğu için 11/24 kesrinin yarıma olan mesafesi daha azdır. Yani daha yakındır. Buradan 11/24 > 9/20 sıralamasını yapabiliriz. ÖRNEK: 11/20 ve 17/32 kesirlerini karşılaştıralım. 11/20 kesri yarımdan (10/20) büyüktür ve yarımı 1/20 geçmiştir. 17/32 kesri yarımdan (16/32) büyüktür ve yarımı 1/32 geçmiştir. 1/32 kesri 1/20'den daha küçük bir kesir olduğu için 17/32 kesri daha küçüktür. Çünkü iki kesir de yarımı geçmiştir. Ancak 17/32 kesri yarımı 1/32 geçmiştir, diğeri 1/20 geçmiştir. 1/32 daha küçük olduğu için 17/32 daha az geçmiştir. Buradan 17/32 < 11/20 sıralamasını yapabiliriz. KESİRLERİ SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERME Kesirleri sayı doğrusunda gösterme konusu en kısa zamanda eklenecektir.-------------------------------------------------1) PAYDALARI EŞİT OLAN KESİRLERDE TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ Paylardaları eşit olan kesirlerde toplama ve çıkarma işlemi yaparken paylar arasında işlem yapılır ve sonucun payına yazılır, ortak olan payda ise sonucun paydasına yazılır. Paydaları eşit iki kesri toplama örneği:  Paydaları eşit iki kesri çıkarma örneği:  # Eğer toplayacağımız veya çıkaracağımız kesirler tam sayılı kesir ise tam kısımlar kendi arasında, kesirler kendi arasında toplanıp çıkartılır. Tam sayılı kesirlerde toplama işlemi örneği: Tam sayılı kesirlerde çıkarma işlemi örneği: 2) PAYDALARI EŞİT OLMAYAN KESİRLERDE TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ Paylardaları eşit olmayan kesirlerde toplama ve çıkarma işlemi yaparken önce paydalar eşitlenir. Paydaları eşitlemek için daha önceden öğrendiğimiz Kesirleri Sadeleştirme ve Genişletme işlemleri yapılır. Genişleterek payda eşitlemede paydaların en küçük ortak katını yani EKOK'unu bulmak kolaylık sağlar. Paydaları eşitledikten sonra yukarıda öğrendiğimiz gibi işlem yapılır. Tam sayılı kesirleri toplarken veya çıkarırken bileşik kesre çevirme işlemi yapabiliriz. Doğal sayılarla kesirleri toplarken doğal sayının paydasını 1 kabul ederek paydaları eşitleriz.  Aşağıdaki kesirlerde toplama ve çıkarma işlemi örnekleri incelenecek olursa paydaların hep paydadaki sayıların EKOK'unda eşitlendiği görülür. Özellikle paydaların büyük olduğu ve ikiden fazla kesir olduğu durumlarda önce ekok bulmak bize büyük kolaylık sağlar.--------------------------------------------------------------------------------------------------KESİRLERDE ÇARPMA İŞLEMİ BİR KESİRİN KESİR KADARINI BULMA (İKİ KESRİ ÇARPMA) Bir kesrin bir kesir kadarını bulmak istiyorsak (Örneğin 3 bölü 4'ün 4'te 2'si kaçtır?) bu iki kesri çarparız. # Kesirlerde çarpma işlemi yapılırken paylar çarpılıp çarpımın payına, paydalar çarpılıp çarpımın paydasına yazılır. ÖRNEK: 5/17 ile 6/7 kesirlerini çarpalım. # Çarpma işleminde tam sayılı kesir varsa önce bileşik kesre çevrilir. ÖRNEK: BİR DOĞAL SAYININ KESİR KADARINI BULMA (DOĞAL SAYI İLE BİR KESRİ ÇARPMA) Bir doğal sayının bir kesir kadarını bulmak istiyorsak (Örneğin 25'in 5'te 2'si kaçtır?) o sayı ile kesri çarparız. # Doğal sayıların paydaları 1 olan kesirler olduklarını hatırlayalım. ÖRNEK: # Bir kesrin 0 ile çarpımı sıfırdır. # Bir kesrin 1 ile çarpımı kendisidir.  KESİRLERLE ÇARPMANIN MODELLENMESİ Öncelikle bir tam sayı ile kesrin çarpımının modellemesini yapalım. ÖRNEK: 24'ün 3'te 2'si kaçtır? Modelleme yapacak olursak:  Şimdi iki kesrin çarpımının modellemesini yapalım. Kesirlerde çarpma işleminde modelleme yapılırken çarpılan iki kesirden biri yatay biri dikey olarak ayrı ayrı modellenir ve üst üste konulur. İki renge de boyanmış küçük dikdörtgenlerin sayısının bütün dikdörtgenlere oranı da cevap olur. ÖRNEK: 2/3 x 3/4 işlemini modelleyelim. Örnekte olduğu gibi mor renkler çakışan renkler pay, bütün dikdörtgenler de payda olur. KESİRLERDE ÇARPMA İŞLEMİ PROBLEMLERİ Problemlerde bir sayının şu kadarını veya bilmem kaçın bilmem kaçta kadarını diyorsa çarpma işlemi yapıyoruz ÖRNEK: Bir manav satın aldığı 35 kilogramlık patatesin 7'de 3'ünü aynı gün sattı. Gün sonunda manavın elinde satılmayan kaç kilogram patates kalmıştır. ÇÖZÜM: 35'i 3/7 ile çarpacağız. Çıkan sonuç (15kg) sattığı patateslerdir. Kalan patatesi bulmak için: 35-15=20 kg ÖRNEK: 36 km'lik bir yolun önce 1/4'ü, daha sonra kalan yolun 2/3'ü asfaltlanıyor. Asfaltlanmayan ne kadar yol kalmıştır? ÇÖZÜM:  Önce ilk asfaltlanan kısmını bulmak için 36'yı 1/4 ile çarparız: 9 km asfaltlandı Sonra ilk asfaltlama sonunda kalan kısmı buluruz: 36 - 9 = 27 km Daha sonra bu kalan kısmın 2/3'ü asfaltlanmış: 27'yi 2/3 ile çarparız: 18 km asfaltlandı Toplam asfaltlanan = 9 + 18 = 27 km Geriye kalan: 36 - 27 = 9 km------------------------------------------------------------------------------------------KESİRLERDE BÖLME İŞLEMİ Kesirlerle bölme işlemi yapmak için iki tane yöntem öğreneceğiz. Bunlardan biri ortak payda algoritması (yöntemi), diğeri ise ters çevirip çarpma algoritması (yöntemi). Bölme işlemi yaparken iki yöntemi de kullanabiliriz. Öğrenciler genellikle ters çevir çarp yöntemini seviyorlar. (Diğer yöntemin çok öğretilmemesi de bunda etkili olabilir.)   1) TERS ÇEVİRİP ÇARP ALGORİTMASI (YÖNTEMİ) Ters çevir çarp kuralında işlemdeki iki kesirden ilk (yani bölünen) kesir aynen yazılır, ikinci kesir (yani bölen) kesir ters çevrilerek (pay ve paydasının yeri değiştirilerek) ilk kesirle çarpılır. Bu aşamadan sonra oluşan çarpma işlemini kesirlerde çarpma işlemi konusunda öğrendiğimiz şekilde yaparız. Bölme işleminde şunlara da dikkat etmeliyiz: # Tam sayılı kesir varsa bileşik kesre çevrilir. # İşlemde doğal sayı varsa paydasına 1 yazılır. # Çarpmaya dönüştürdükten sonra varsa sadeleştirme yapılır. Sadeleştirme yaparken çarpılan sayılarda paydaki herhangi bir sayı ile paydadaki herhangi bir sayı sadeleştirilebilir. ÖRNEK: Aşağıdaki örnekte birinci kesri aynen yazdık, ikinci kesri ters çevirip çarptık ve sadeleştirme yaptık.  ÖRNEK: Aşağıdaki örnekte 60'ın paydasına 1 yazdık, tam sayılı kesri bileşik kesre çevirdik ve sonra ters çevirip çarptık, sadeleştirme yaptık.  2) ORTAK PAYDA ALGORİTMASI (YÖNTEMİ) Ortak payda yönteminde bölünen iki kesrin paydası eşitlenir daha sonra paylarının oranı sonuç olarak yazılır.   KESİRLERLE BÖLMENİN MODELLENMESİ Bölme işlemi bir çokluğun içinde diğerinden kaç tane olduğunu bulma işlemidir. Modellemeyi bunu düşünerek yapacağız.  ÖRNEK: Aşağıda 2 : 1/4 işleminin modellemesi gösterilmiştir. 2 tamın içinde çeyrekten 8 tane vardır.--------------------------------------------------------ARİTMETİK ORTALAMA Bir sayı dizisindeki elemanların toplamının eleman sayısına bölümüne aritmetik ortalama denir. Aritmetik ortalamayı günlük hayatta çok kullanırız. Örneğin bir dersteki notlarımızı hesaplarken notları toplar not sayısına böleriz. Bir öğrenci matematikten 80, 70 ve 93 alsın. Ortalamasını hesaplarsak 80 + 70 + 93 = 243 buluruz. 3 not olduğu için ortalamasını 243/3 = 81 buluruz. AÇIKLIK NEDİR? Verilen sayı dizisinin en büyük ve en küçük değeri arasındaki farka aralık veya açıklık denir. Yukarıdaki örnekten devam edersek öğrencinin notları 80, 70 ve 93'tü. En yüksek notu: 93 En düşük notu: 70 olduğuna göre bu verilerin aralığı 93 - 70 = 23 olarak bulunur. ÖRNEK: Aşağıdaki verilerin açıklığını ve aritmetik ortalamasını bulalım. 12, 28, 45, 21, 3, 41 Aritmetik Ortalama: (12 + 28 + 45 + 21 + 3 + 41) / 6 =  150 / 6 = 25 Açıklık: En büyük değer 45 ve en küçük değer 3 ---> 45 - 3 = 42----------------------------------------------------YÖNLÜ SAYILAR Günlük hayatımızda karşılaştığımız olayların sayısal ifadelerinde doğal sayılar bazı durumlarda yetersiz kalır. Örneğin borç alma - verme, deniz seviyesinin altına inme - üstüne çıkma, kar-zarar etme gibi durumları doğal sayılarla ifade etmemiz karışıklığa sebep olur. Bu yüzden tam sayılar kümesinde yararlanılır. Tam sayılar kümesine yönlü sayılar kümesi de denilebilir. Olumlu durumlarda pozitif tam sayıları ( + ), olumsuz durumlarda ise negatif tam sayıları ( - ) kullanırız. Örnek verecek olursak, Sıcaklık sıfırın altında 20 derece yerine -----> -20 Deniz seviyesinin 150 metre üstü -----> +150 Zemin katın altındaki 3. kat -----> -3 25 TL borç -----> -25 500 TL kâr -----> +500 TAM SAYILAR KÜMESİ Yukarıda da gördüğümüz gibi sayıların önüne konulan işaretler sayının yönünü belirtir. Önünde + olan sayılara pozitif tam sayılar, - olan sayılara ise negatif tam sayılar denir. Önünde işaret bulunmayan sayıların işareti +'dır. Sıfır sayısı ise ne pozitif ne de negatif bir tam sayıdır. Sıfıra referans noktası deriz. Çünkü sayıların pozitif mi negatif mi olduğunu sıfır ile karşılaştırarak belirleriz. Sayı doğrusunda sıfırın sağındaki sayılar pozitif, solundaki sayılar ise negatiftir. Pozitif tam sayılar kümesi Z+ sembolü ile gösterilir. Z+ = { 1, 2, 3, 4, ...} Negatif tam sayıalar kümesi Z- sembolü ile gösterilir. Z- = { -1, -2, -3, -4, ...} Tam sayılar kümesi ise pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve sıfırın (0) birleşiminden oluşur. Z harfi ile gösterilir. Z = Z+ È {0} È Z- Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } MUTLAK DEĞER Bir tam sayının referans noktasına yani sıfıra (0) olan uzaklığına o tam sayının mutlak değeri denir. Örneğin -5 sayısının 0'a olan uzaklığı 5 birimdir. Bu yüzden -5'in mutlak değeri 5'tir. Bu durum sembolle | -5 | = 5 şeklinde gösterilir. Sayının yanındaki çizgiler mutlak değer sembolüdür. Mutlak değer sıfıra olan uzaklık olduğu için uzaklık birimi negatif olamayacağından mutlak değer asla negatif bir sayı olamaz. 0 sayısının mutlak değeri 0'dır. Bunun dışındaki sayıların mutlak değeri pozitiftir. | -2 | = 2 | + 5 | = 5 | 0 | = 0 | -123 | = 123 TAM SAYILARI KAŞILAŞTIRMA Sayı doğrusunda sağa doğru gidildikçe sayılar büyür, sola doğru gidildikçe sayılar küçülür. Diğer bir ifade ile pozitif sayılar sıfırdan uzaklaştıkça büyür, negatif tam sayılar sıfırdan uzaklaştıkça küçülürler. Örnekler verelim, +5 sayısı +3 sayısının sağında olduğu için +5 > +3 -2 sayısı -7 sayısının sağında olduğu için -2 > -7 Negatif tam sayıları karşılaştırırken borç olarak düşünmeniz karşılaştırmanızı kolaylaştıracaktır. Mesela -7 mi büyük -10 mu diye düşünelim. Sayılar negatif olduğu için -7'yi 7 TL borç, -10'u ise 10 TL borç olarak düşünebiliriz. 7 TL borç 10 TL borçtan daha iyi bir durum olduğu için -7 > -10 deriz. Şu çıkarımlarda bulunabiliriz: Bütün pozitif tam sayılar 0'dan büyüktür. Bütün negatif tam sayılar 0'dan küçüktür. Herhangi bir pozitif tam sayı, bütün negatif tam sayılardan büyüktür. Herhangi bir negatif tam sayı, bütün pozitif tam sayılardan küçüktür. Sayı doğrusundaki bir sayı, sağındaki sayılardan küçük, solundakilerden büyüktür. En büyük negatif tam sayı -1'dir. En küçük pozitif tam sayı +1'dir. Örnekler: -15 > -29 +6 < 23 0 < 12 -23 < 0 -2 > -13 5 > -7 |-2| > -2 |-23| < 144 15 < |-18|