5 x 5 x 5 ifadesi 3 tane 5 in çarpımıdır. Bu ifadeyi kısaca 53 şeklinde yazabiliriz. 6.SINIFIN
53 sayısı "beş üssü üç" veya "beşin üçüncü kuvveti" şeklinde okunur.
Bir sayının kaç kez yan yana yazılıp çarpılacağını gösteren sayıya üs, çarpılan sayıya databan denir.
53 sayısına üslü sayı denir. Bu üslü sayıdaki 5 e taban, 3 e ise üs denir.
Üslü Sayıları Çarpım Şeklinde Yazma
Verilen üslü sayıyı çarpım şeklinde açarken üsse bakılır. Üs kaç ise, tabandaki sayı o kadar çarpım şeklinde yazılır.
Örnek : 47 üslü sayısını çarpım şeklinde yazalım.
Çözüm : Tabanı üsteki sayı kadar çarpım şeklinde yazalım. (4 ü 7 kez çarpım şeklinde)
47 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4
Çarpım Şeklindeki Sayıları Üslü Sayı Olarak Yazma
Çarpılan sayı tabana yazılır. Kaç kere çarpıldığı ise üsse yazılır.
Örnek : 3 x 3 x 3 x 3 x 3 çarpımını üslü sayı olarak yazalım.
Çözüm : 3 x 3 x 3 x 3 x 3 çarpımında 3 sayısı 5 kere çarpım şeklinde yazılmıştır. Bu nedenle üslü gösterimi 35 şeklindedir.
Üslü Sayıların Sayısal Değerini Bulma
Verilen üslü sayı ilk önce çarpım şeklinde yazılır. Daha sonra bu sayılar dikkatli bir şekilde çarpılarak sonuç bulunur.
Örnek 1 ; 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 dir. (5 tane 2 yi çarparsak 32 sonucunu buluruz.)
Örnek 2 : 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81 (4 tane 3 ü çarparsak 81 sayısını buluruz.)
İşlem önceliği birden fazla işlemin olduğu durumlarda, hangi işlemin önce yapılacağıdır. İşlem önceliği ayraçlarla belirtilir. İşlem sırası ayraçlarla belirtilmemiş ise önce üslü sayılar, sonra çarpma veya bölme, sonra toplama veya çıkarma işlemleri yapılır. Aynı özelliğe sahip işlemlerde sıra soldan sağa doğru takip edilir. Basit bir soru çözümü ile açıklayalım.
Yukarıda verilen soruyu birçok öğrencimiz, işlem önceliğine bakmaksızın soldan başlayarak çözmekte ve sonucu yanlış bulmaktadır. Herhangi bir işlemi çözerken ilk yapmamız gereken şey soruda işlem önceliği bulunan işlemleri belirlemektir. İşlem önceliği bulunan bölümleri yuvarlak içine almak veya altını çizmek suretiyle kolaylık sağlayabilirsiniz.
- İşlem önceliği sıralamasını maddeler halinde yazalım.
- İlk önce üslü sayılar yapılır.
- Parantez içleri. İç içeli parantezlerde, en içteki parantezden başlanır.
- Çarpma veya bölme işlemi yapılır.
- Toplama veya çıkarma işlemi yapılır.
İşlem önceliği sorularında aynı özelliğe sahip sorularda soldan başlayarak çözünüz. Diyelim ki çarpma ve bölme işlemi bulunan bir soru ile karşılaştınız. Bu iki işlem aynı özelliğe sahiptir. Soldan başlayarak işlemlerinizi yapınız. Aynı durum toplama veya çıkarma işlemleri için de geçerlidir. Biraz daha karışık bir çözümlü soru ile konumuza devam edelim.
İşlem önceliği sorumuzda, ilk önce üslü ifadeyi doğal sayıya çevirdik. Daha sonra ise ilk önce parantez yapılacağından en içteki parantezden başlayarak çözüme devam ettik. Parantezin içindeki çarpma ve çıkarma işlemlerinde önce çarpma işlemini yaptık. Parantez içini çözdükten sonra ise dışarıda bulana bölme ve çıkarma işlemlerinden öncelikli olarak bölme işlemini yaptık.
İşlem önceliği konusu işlemlerin doğru bir sıralama dahilinde çözümüdür. İşlem önceliği başlı başına bir konu değildir. Bütün matematik konularının içinde var olan matematiksel işlemlerin çözüm sıralamasıdır. Bu işlem sıralamasına dikkat etmediğinizde bulacağınız sonuç, doğru sonuçtan çok farklı çıkacaktır.
İşlem önceliği ile ilgili basit orta ve zor sorular içeren testlerimizi çözmeyi unutmayınız. Konuyu daha iyi kavramak için bol bol soru çözmeniz gerekmektedir.
Bölünebilme kuralları konu anlatımı içeriği; 2, 3, 4, 5, 6 , 9 ve 10 ile bölünebilme kuralları, bir doğal sayının çarpanları (bölenleri), asal sayılar, bir doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırma ve aralarında asal sayılar konu başlıkları anlatılmıştır
Örnek
7a52 dört basamaklı bir sayıdır. Bu sayının 3 ile kalansız bölünebilmesi için, a rakamının alabileceği değerleri bulalım.
7a52 sayısının 3 ile kalansız bölünebilmesi için;
7 + a + 5 + 2 = 14 + a sayısının 3 ile kalansız bölünmesi gerekir.
14 ile toplandığında 3'e kalansız bölünebilecek sayılara bakalım.
14 + 0 = 14 (14 sayısı 3' e tam bölünmez)
14 + 1 = 15 (15 sayısı 3' e tam bölünür.) Aradığımız rakamı bulduk. Bu şekilde diğer rakamları da deneyerek 3'e tam bölünenleri bulabiliriz fakat size daha kolay bir yol göstermek istiyorum.
İlk rakamı bulduğumuz zaman, bu rakamın üzerine 3'er ekleyerek diğer rakamlarımızı bulabiliriz.
Örneğimizde a yerine 1 yazdığımız zaman sayı 3 ile kalansız bölündü. 1'in üzerine 3'er eklersek; 4 ve 7 rakamlarını elde ederiz.
Dolayısıyla a yerine 1, 4 ve 7 rakamlarını yazarsak sayımız 3 ile kalansız bölünebilir.
Bölünebilme Kuralları
4 ile Bölünebilme
Bir sayının son iki basamağının (birler ve onlar basamağı) belirttiği sayı 4 ile kalansız bölünüyorsa, o sayı 4 ile kalansız bölünür.
Örnek
5216 sayısının son iki basamağının belirttiği sayı 16 dır. 16 sayısı 4 ile kalansız bölündüğü için, 5216 sayısı 4 ile kalansız bölünür.
Örnek
47562 sayısının son iki basamağının belirttiği sayı 62 dir. 62 sayısı 4 ile kalansız bölünmediği için, 47562 sayısı 4 ile kalansız bölünemez.
Bölünebilme Kuralları
5 ile Bölünebilme
Herhangi bir doğal sayının birler basamağında 0 veya 5 var ise, bu sayı 5 ile kalansız bölünebilir.
Örnek
75, 840, 9540, 745 sayıları 5 ile tam bölünebilir.
Bölünebilme Kuralları
6 İle Bölünebilme
2 ve 3 ile kalansız bölünebilen doğal sayılar 6 ile kalansız bölünebilir.
Örnek
5286 sayısının 6 ile bölünüp bölünemediğini bulalım:5286 sayısı çift sayı olduğu için 2 ile bölünür. Şimdi 3 ile bölünebiliyor mu bakalım.
5 + 2 + 8 + 6 = 21 sayısı 3 ile tam bölünebildiğinden 5286 sayısı 6 ile tam bölünebilir.
Örnek
945a dört basamaklı sayısının 6 ile kalansız bölünebilmesi için a nın alabileceği değerleri bulalım:
945a sayısı 6 ile kalansız bölünebilmesi için 2 ve 3 ile kalansız bölünebilmelidir. Verilen sayının 2 ile kalansız bölünebilmesi için a rakamının alabileceği değerler;
0, 2, 4, 6, 8 dir. 945a sayısının 3 ile kalansız bölünebilmesi için,
9 + 4 + 5 + a = 18 + a sayısının 3 ile kalansız bölünebilmesi gerekir.
Buna göre, a yerine 0, 3, 6 ve 9 rakamları yazılırsa 945a sayısı 3 ile bölünebilir. Fakat bu rakamlar arasından çift olanları kabul edicez çünkü sayımızın 2 ile de tam bölünmesi gerekiyor.
Bu durumda 945a sayısının 6 ile kalansız bölünebilmesi için a yerine gelebilecek rakamlar 0 ve 6 dır.
Bölünebilme Kuralları
9 ile Bölünebilme
Herhangi bir doğal sayının rakamlarının sayı değerleri toplamı 9 ile kalansız bölünüyorsa, bu sayı 9 ile kalansız bölünebilir.
Örnek
747, 162, 2374, 95485 sayılarının 9 ile bölünüp bölünemediğini inceleyelim:
747 » 7 + 4 + 7 = 18
162 » 1 + 6 + 2 = 9
2374 » 2 + 3 + 7 + 4 = 16
95485 » 9 + 5 + 4 + 8 + 5 = 31
Bu toplamlardan 9 ve 18 sayıları 9 ile kalansız bölündüğü için 747 ve 162 sayıları 9 ile kalansız olarak bölünür. 16 ve 31 toplamları 9'a tam bölünmediği için 2374 ve 95485 sayıları 9 ile kalansız bölünemez.
Bölünebilme Kuralları
10 İle Bölünebilme
Birler basamağı sıfır olan doğal sayılar 10 ile kalansız bölünebilir.
Örnek
450, 2890, 25700 sayıları 10 ile kalansız bölünebilir.
BİR DOĞAL SAYININ ÇARPANLARI (BÖLENLERİ)
Bir doğal sayıyı kalansız olarak bölen sayma sayılarına, o sayının bölenleri denir. 1, 3, 5 ve 15 sayıları 15 i kalansız olarak böler. Dolayısıyla 15 in bölenleri 1, 3, 5 ve 15 tir.
Uyarı
Herhangi bir doğal sayının bölenleri aynı zamanda o sayının çarpanlarıdır. Her doğal sayı, kendi çarpanlarına tam bölünür.
Örnek
21 = 21 x 1
21 = 7 x 3
21 sayısının çarpanları 1, 3, 7 ve 21 dir. 1, 3, 7 ve 21 sayıları 21 sayısının aynı zamanda bölenleridir.
Örnek
42 sayısının çarpanlarını bulalım:
42 = 42 x 1
42 = 21 x 2
42 = 14 x 3
42 = 7 x 6
Bu durumda 42 sayısının çarpanları (bölenleri) 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 ve 42 dir.
Örnek
45 sayısının çarpanlarını çarpan ağacı oluşturarak bulalım:
45 sayısının çarpanları (bölenleri) 1, 3, 5, 9, 15 ve 45 tir.
ASAL SAYILAR
1 ve kendisinden başka hiçbir sayma sayısına bölünemeyen 1 den büyük doğal sayılaraasal sayılar denir.
1 ile 100 arasındaki asal sayılar:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 dir.
Uyarı
» 2' den başka çift asal sayı yoktur.
» 0 ve 1 doğal sayıları asal sayı değildir.
BİR DOĞAL SAYIYI ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA
Bu çarpanların bazıları asal sayı, bazıları da asal sayı değildir. Doğal sayının çarpanlarından asal olanlarına, bu doğal sayının asal çarpanları denir. Bir doğal sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazabiliriz. 48 sayısını, asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazalım:
Bir doğal sayının bölenleri aynı zamanda çarpanları olduğundan, 36 yı sıra ile asal sayılara bölelim:
Buna göre 48' in asal çarpanları 2 ve 3 tür.
ARALARINDA ASAL SAYILAR
Ortak asal çarpanı olmayan sayılara, aralarında asal sayılar denir.
18 ve 25 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:
18 ve 25 sayılarının ortak bir çarpanı bulunmamaktadır. Bu nedenle bu iki sayı aralarında asal sayılardır. Benzer şekilde 6 ile 11, 15 ile 14, 9 ile 10 aralarında asaldır.
Fakat 9 ile 21 in ortak çarpanı 3 olduğundan aralarında asal değildir.
Ardışık sayma sayıları aralarında asaldır.
7 ile 8,
15 ile 16,
32 ile 33,
121 ile 122 gibi ardışık sayma sayıları aralarında asaldırlar.
Bölünebilme Kuralları konu anlatımını burada tamamlamış bulunuyoruz. Bölünebilme kuralları ile ilgili test çözrek pratik yapabilirsiniz.
6.Sınıf Eşlik ve Benzerlik konu anlatımı; eş şekiller, bezer şekiller sembol ve özellikleri ile 10 çözümlü soru içermektedir.
EŞ ŞEKİLLER
Aynı biçim ve özelliklere sahip olan şekillere eş şekillerdenir. Eş şekiller "≅" sembolü ile gösterilir. Birbirine eşit olan A ve B gibi iki şekil, A ≅ B şeklinde gösterilir ve "A eştir B" şeklinde ifade edilir.
Eş şekiller birbirinin tamamen aynısıdır. Birbirine benzediği halde biri büyük diğeri küçük olamaz. Hem biçimleri hem de ölçüleri bire bir aynı olmalıdır. Yanda görmüş olduğunuz şekiller birbirine eştir.
BENZER ŞEKİLLER
Aynı biçimde fakat farklı ölçüde (büyüklükte) olan şekillerebenzer şekiller denir. Benzer şekiller "≈" sembolü kullanılarak gösterilir. Birbirine benzer K ve L gibi iki şekil K ≈ L şeklinde gösterilir ve "A bezerdir B" şeklinde ifade edilir. Yanda verilen K ve L şekilleri biçim olarak birbirinin aynısı fakat büyüklükleri birbirinden farklı olduğu için, bu iki şekil birbirine benzerdir.
